\(\int (c+d x) \sec ^2(a+b x) \sin (3 a+3 b x) \, dx\) [391]

Optimal result

Integrand size = 23, antiderivative size = 57 \[ \int (c+d x) \sec ^2(a+b x) \sin (3 a+3 b x) \, dx=\frac {d \text {arctanh}(\sin (a+b x))}{b^2}-\frac {4 (c+d x) \cos (a+b x)}{b}-\frac {(c+d x) \sec (a+b x)}{b}+\frac {4 d \sin (a+b x)}{b^2} \]

[Out]

d*arctanh(sin(b*x+a))/b^2-4*(d*x+c)*cos(b*x+a)/b-(d*x+c)*sec(b*x+a)/b+4*d*sin(b*x+a)/b^2

Rubi [A] (verified)

Time = 0.12 (sec) , antiderivative size = 57, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 9, number of rules used = 6, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.261, Rules used = {4516, 3377, 2717, 4492, 4494, 3855} \[ \int (c+d x) \sec ^2(a+b x) \sin (3 a+3 b x) \, dx=\frac {d \text {arctanh}(\sin (a+b x))}{b^2}+\frac {4 d \sin (a+b x)}{b^2}-\frac {4 (c+d x) \cos (a+b x)}{b}-\frac {(c+d x) \sec (a+b x)}{b} \]

[In]

Int[(c + d*x)*Sec[a + b*x]^2*Sin[3*a + 3*b*x],x]

[Out]

(d*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/b^2 - (4*(c + d*x)*Cos[a + b*x])/b - ((c + d*x)*Sec[a + b*x])/b + (4*d*Sin[a + b*x])
/b^2

Rule 2717

Int[sin[Pi/2 + (c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[Sin[c + d*x]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

Rule 3377

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(-(c + d*x)^m)*(Cos[e + f*x]/f), x]
+ Dist[d*(m/f), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Cos[e + f*x], x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 3855

Int[csc[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[-ArcTanh[Cos[c + d*x]]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

Rule 4492

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> -Int[
(c + d*x)^m*Sin[a + b*x]^n*Tan[a + b*x]^(p - 2), x] + Int[(c + d*x)^m*Sin[a + b*x]^(n - 2)*Tan[a + b*x]^p, x]
/; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

Rule 4494

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[
(c + d*x)^m*(Sec[a + b*x]^n/(b*n)), x] - Dist[d*(m/(b*n)), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Sec[a + b*x]^n, x], x] /; Fre
eQ[{a, b, c, d, n}, x] && EqQ[p, 1] && GtQ[m, 0]

Rule 4516

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*(F_)[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*(G_)[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(q_.), x_Symbol] :> Int
[ExpandTrigExpand[(e + f*x)^m*G[c + d*x]^q, F, c + d*x, p, b/d, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && M
emberQ[{Sin, Cos}, F] && MemberQ[{Sec, Csc}, G] && IGtQ[p, 0] && IGtQ[q, 0] && EqQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[b/d,
1]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \int \left (3 (c+d x) \sin (a+b x)-(c+d x) \sin (a+b x) \tan ^2(a+b x)\right ) \, dx \\ & = 3 \int (c+d x) \sin (a+b x) \, dx-\int (c+d x) \sin (a+b x) \tan ^2(a+b x) \, dx \\ & = -\frac {3 (c+d x) \cos (a+b x)}{b}+\frac {(3 d) \int \cos (a+b x) \, dx}{b}+\int (c+d x) \sin (a+b x) \, dx-\int (c+d x) \sec (a+b x) \tan (a+b x) \, dx \\ & = -\frac {4 (c+d x) \cos (a+b x)}{b}-\frac {(c+d x) \sec (a+b x)}{b}+\frac {3 d \sin (a+b x)}{b^2}+\frac {d \int \cos (a+b x) \, dx}{b}+\frac {d \int \sec (a+b x) \, dx}{b} \\ & = \frac {d \text {arctanh}(\sin (a+b x))}{b^2}-\frac {4 (c+d x) \cos (a+b x)}{b}-\frac {(c+d x) \sec (a+b x)}{b}+\frac {4 d \sin (a+b x)}{b^2} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (verified)

Time = 0.81 (sec) , antiderivative size = 105, normalized size of antiderivative = 1.84 \[ \int (c+d x) \sec ^2(a+b x) \sin (3 a+3 b x) \, dx=-\frac {\sec (a+b x) \left (3 b c+3 b d x+2 b (c+d x) \cos (2 (a+b x))+d \cos (a+b x) \left (\log \left (\cos \left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )-\sin \left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )-\log \left (\cos \left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )+\sin \left (\frac {1}{2} (a+b x)\right )\right )\right )-2 d \sin (2 (a+b x))\right )}{b^2} \]

[In]

Integrate[(c + d*x)*Sec[a + b*x]^2*Sin[3*a + 3*b*x],x]

[Out]

-((Sec[a + b*x]*(3*b*c + 3*b*d*x + 2*b*(c + d*x)*Cos[2*(a + b*x)] + d*Cos[a + b*x]*(Log[Cos[(a + b*x)/2] - Sin
[(a + b*x)/2]] - Log[Cos[(a + b*x)/2] + Sin[(a + b*x)/2]]) - 2*d*Sin[2*(a + b*x)]))/b^2)

Maple [A] (verified)

Time = 1.60 (sec) , antiderivative size = 96, normalized size of antiderivative = 1.68

method	result	size
default	\(-\frac {4 c \cos \left (x b +a \right )}{b}-\frac {c}{b \cos \left (x b +a \right )}+\frac {4 d \left (\sin \left (x b +a \right )-\left (x b +a \right ) \cos \left (x b +a \right )+\cos \left (x b +a \right ) a \right )}{b^{2}}-\frac {d x}{b \cos \left (x b +a \right )}+\frac {d \ln \left (\sec \left (x b +a \right )+\tan \left (x b +a \right )\right )}{b^{2}}\)	\(96\)
risch	\(-\frac {2 \left (d x b +c b +i d \right ) {\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}}{b^{2}}-\frac {2 \left (d x b +c b -i d \right ) {\mathrm e}^{-i \left (x b +a \right )}}{b^{2}}-\frac {2 \,{\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )} \left (d x +c \right )}{b \left ({\mathrm e}^{2 i \left (x b +a \right )}+1\right )}-\frac {d \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}-i\right )}{b^{2}}+\frac {d \ln \left (i+{\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{2}}\)	\(123\)

[In]

int((d*x+c)*sec(b*x+a)^2*sin(3*b*x+3*a),x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

-4*c*cos(b*x+a)/b-c/b/cos(b*x+a)+4*d/b^2*(sin(b*x+a)-(b*x+a)*cos(b*x+a)+cos(b*x+a)*a)-d/b/cos(b*x+a)*x+d/b^2*l
n(sec(b*x+a)+tan(b*x+a))

Fricas [A] (verification not implemented)

none

Time = 0.27 (sec) , antiderivative size = 93, normalized size of antiderivative = 1.63 \[ \int (c+d x) \sec ^2(a+b x) \sin (3 a+3 b x) \, dx=-\frac {2 \, b d x + 8 \, {\left (b d x + b c\right )} \cos \left (b x + a\right )^{2} - d \cos \left (b x + a\right ) \log \left (\sin \left (b x + a\right ) + 1\right ) + d \cos \left (b x + a\right ) \log \left (-\sin \left (b x + a\right ) + 1\right ) - 8 \, d \cos \left (b x + a\right ) \sin \left (b x + a\right ) + 2 \, b c}{2 \, b^{2} \cos \left (b x + a\right )} \]

[In]

integrate((d*x+c)*sec(b*x+a)^2*sin(3*b*x+3*a),x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/2*(2*b*d*x + 8*(b*d*x + b*c)*cos(b*x + a)^2 - d*cos(b*x + a)*log(sin(b*x + a) + 1) + d*cos(b*x + a)*log(-si
n(b*x + a) + 1) - 8*d*cos(b*x + a)*sin(b*x + a) + 2*b*c)/(b^2*cos(b*x + a))

Sympy [F(-2)]

Exception generated. \[ \int (c+d x) \sec ^2(a+b x) \sin (3 a+3 b x) \, dx=\text {Exception raised: HeuristicGCDFailed} \]

[In]

integrate((d*x+c)*sec(b*x+a)**2*sin(3*b*x+3*a),x)

[Out]

Exception raised: HeuristicGCDFailed >> no luck

Maxima [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 3330 vs. \(2 (57) = 114\).

Time = 0.39 (sec) , antiderivative size = 3330, normalized size of antiderivative = 58.42 \[ \int (c+d x) \sec ^2(a+b x) \sin (3 a+3 b x) \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((d*x+c)*sec(b*x+a)^2*sin(3*b*x+3*a),x, algorithm="maxima")

[Out]

-2*((cos(3*b*x + 3*a) + cos(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + (3*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(3*b*x + 3*a) + 3*cos(2*b
*x + 2*a)*cos(b*x + a) + (sin(3*b*x + 3*a) + sin(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) + 3*sin(3*b*x + 3*a)*sin(2*b*x + 2
*a) + 3*sin(2*b*x + 2*a)*sin(b*x + a) + cos(b*x + a))*c/(b*cos(3*b*x + 3*a)^2 + 2*b*cos(3*b*x + 3*a)*cos(b*x +
a) + b*cos(b*x + a)^2 + b*sin(3*b*x + 3*a)^2 + 2*b*sin(3*b*x + 3*a)*sin(b*x + a) + b*sin(b*x + a)^2) - 1/2*(4
*(cos(a)^2 + sin(a)^2)*b*x*cos(b*x + a) + 12*(b*x*cos(2*b*x + 3*a)*cos(b*x + 2*a) + b*x*cos(b*x + 2*a)*cos(a)
+ b*x*sin(2*b*x + 3*a)*sin(b*x + 2*a) + b*x*sin(b*x + 2*a)*sin(a))*cos(3*b*x + 3*a)^2 + 4*(b*x*cos(b*x + a) -
sin(b*x + a))*cos(2*b*x + 3*a)^2 + 12*(b*x*cos(2*b*x + 3*a)*cos(b*x + 2*a) + b*x*cos(b*x + 2*a)*cos(a) + b*x*s
in(2*b*x + 3*a)*sin(b*x + 2*a) + b*x*sin(b*x + 2*a)*sin(a))*sin(3*b*x + 3*a)^2 + 4*(b*x*cos(b*x + a) - sin(b*x
+ a))*sin(2*b*x + 3*a)^2 + 4*((b*x*cos(2*b*x + 3*a) + b*x*cos(a) + sin(2*b*x + 3*a) + sin(a))*cos(3*b*x + 3*a
)^2 + (b*x*cos(a) + sin(a))*cos(b*x + a)^2 + (b*x*cos(2*b*x + 3*a) + b*x*cos(a) + sin(2*b*x + 3*a) + sin(a))*s
in(3*b*x + 3*a)^2 + (b*x*cos(a) + sin(a))*sin(b*x + a)^2 + 2*(b*x*cos(2*b*x + 3*a)*cos(b*x + a) + (b*x*cos(a)
+ sin(a))*cos(b*x + a) + cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 3*a))*cos(3*b*x + 3*a) + (b*x*cos(b*x + a)^2 + b*x*sin(b*x +
a)^2)*cos(2*b*x + 3*a) + 2*(b*x*cos(2*b*x + 3*a)*sin(b*x + a) + (b*x*cos(a) + sin(a))*sin(b*x + a) + sin(2*b*
x + 3*a)*sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 3*a))*cos(3*b*x + 4*a)
+ 4*(6*b*x*cos(b*x + 2*a)*cos(b*x + a)*cos(a) + 6*b*x*cos(b*x + a)*sin(b*x + 2*a)*sin(a) + b*x*cos(2*b*x + 3*
a)^2 + b*x*sin(2*b*x + 3*a)^2 + (cos(a)^2 + sin(a)^2)*b*x + 2*(3*b*x*cos(b*x + 2*a)*cos(b*x + a) + b*x*cos(a))
*cos(2*b*x + 3*a) + 2*(3*b*x*cos(b*x + a)*sin(b*x + 2*a) + b*x*sin(a))*sin(2*b*x + 3*a))*cos(3*b*x + 3*a) + 4*
(2*b*x*cos(b*x + a)*cos(a) + 3*(b*x*cos(b*x + a)^2 + b*x*sin(b*x + a)^2)*cos(b*x + 2*a) - 2*cos(a)*sin(b*x + a
))*cos(2*b*x + 3*a) + 12*(b*x*cos(b*x + a)^2*cos(a) + b*x*cos(a)*sin(b*x + a)^2)*cos(b*x + 2*a) - ((cos(2*b*x
+ 3*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 3*a)*cos(a) + cos(a)^2 + sin(2*b*x + 3*a)^2 + 2*sin(2*b*x + 3*a)*sin(a) + sin(a)^2)*c
os(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 3*a)^2 + (cos(a)^2 + sin(a)^2)*cos(b*x + a)^
2 + (cos(2*b*x + 3*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 3*a)*cos(a) + cos(a)^2 + sin(2*b*x + 3*a)^2 + 2*sin(2*b*x + 3*a)*sin(a
) + sin(a)^2)*sin(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 3*a)^2 + (cos(a)^2 + sin(a)^2
)*sin(b*x + a)^2 + 2*(cos(2*b*x + 3*a)^2*cos(b*x + a) + 2*cos(2*b*x + 3*a)*cos(b*x + a)*cos(a) + cos(b*x + a)*
sin(2*b*x + 3*a)^2 + 2*cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 3*a)*sin(a) + (cos(a)^2 + sin(a)^2)*cos(b*x + a))*cos(3*b*x +
3*a) + 2*(cos(b*x + a)^2*cos(a) + cos(a)*sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 3*a) + 2*(cos(2*b*x + 3*a)^2*sin(b*x + a)
+ 2*cos(2*b*x + 3*a)*cos(a)*sin(b*x + a) + sin(2*b*x + 3*a)^2*sin(b*x + a) + 2*sin(2*b*x + 3*a)*sin(b*x + a)*
sin(a) + (cos(a)^2 + sin(a)^2)*sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + 2*(cos(b*x + a)^2*sin(a) + sin(b*x + a)^2*sin(
a))*sin(2*b*x + 3*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*sin(b*x + a) + 1) + ((cos(2*b*x + 3*a)^2 + 2*cos
(2*b*x + 3*a)*cos(a) + cos(a)^2 + sin(2*b*x + 3*a)^2 + 2*sin(2*b*x + 3*a)*sin(a) + sin(a)^2)*cos(3*b*x + 3*a)^
2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 3*a)^2 + (cos(a)^2 + sin(a)^2)*cos(b*x + a)^2 + (cos(2*b*x +
3*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 3*a)*cos(a) + cos(a)^2 + sin(2*b*x + 3*a)^2 + 2*sin(2*b*x + 3*a)*sin(a) + sin(a)^2)*si
n(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 3*a)^2 + (cos(a)^2 + sin(a)^2)*sin(b*x + a)^2
+ 2*(cos(2*b*x + 3*a)^2*cos(b*x + a) + 2*cos(2*b*x + 3*a)*cos(b*x + a)*cos(a) + cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 3*a)
^2 + 2*cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 3*a)*sin(a) + (cos(a)^2 + sin(a)^2)*cos(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) + 2*(cos(b*
x + a)^2*cos(a) + cos(a)*sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 3*a) + 2*(cos(2*b*x + 3*a)^2*sin(b*x + a) + 2*cos(2*b*x +
3*a)*cos(a)*sin(b*x + a) + sin(2*b*x + 3*a)^2*sin(b*x + a) + 2*sin(2*b*x + 3*a)*sin(b*x + a)*sin(a) + (cos(a)
^2 + sin(a)^2)*sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + 2*(cos(b*x + a)^2*sin(a) + sin(b*x + a)^2*sin(a))*sin(2*b*x +
3*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*sin(b*x + a) + 1) + 4*((b*x*sin(2*b*x + 3*a) + b*x*sin(a) - cos(
2*b*x + 3*a) - cos(a))*cos(3*b*x + 3*a)^2 + (b*x*sin(a) - cos(a))*cos(b*x + a)^2 + (b*x*sin(2*b*x + 3*a) + b*x
*sin(a) - cos(2*b*x + 3*a) - cos(a))*sin(3*b*x + 3*a)^2 + (b*x*sin(a) - cos(a))*sin(b*x + a)^2 + 2*(b*x*cos(b*
x + a)*sin(2*b*x + 3*a) + (b*x*sin(a) - cos(a))*cos(b*x + a) - cos(2*b*x + 3*a)*cos(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a)
- (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 3*a) + 2*(b*x*sin(2*b*x + 3*a)*sin(b*x + a) + (b*x*sin(a) - c
os(a))*sin(b*x + a) - cos(2*b*x + 3*a)*sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + (b*x*cos(b*x + a)^2 + b*x*sin(b*x + a)
^2)*sin(2*b*x + 3*a))*sin(3*b*x + 4*a) + 4*(6*b*x*cos(b*x + 2*a)*cos(a)*sin(b*x + a) + 6*b*x*sin(b*x + 2*a)*si
n(b*x + a)*sin(a) + 2*(3*b*x*cos(b*x + 2*a)*sin(b*x + a) - cos(a))*cos(2*b*x + 3*a) - cos(2*b*x + 3*a)^2 - cos
(a)^2 + 2*(3*b*x*sin(b*x + 2*a)*sin(b*x + a) - sin(a))*sin(2*b*x + 3*a) - sin(2*b*x + 3*a)^2 - sin(a)^2)*sin(3
*b*x + 3*a) + 4*(2*b*x*cos(b*x + a)*sin(a) + 3*(b*x*cos(b*x + a)^2 + b*x*sin(b*x + a)^2)*sin(b*x + 2*a) - 2*si
n(b*x + a)*sin(a))*sin(2*b*x + 3*a) + 12*(b*x*cos(b*x + a)^2*sin(a) + b*x*sin(b*x + a)^2*sin(a))*sin(b*x + 2*a
) - 4*(cos(a)^2 + sin(a)^2)*sin(b*x + a))*d/((cos(a)^2 + sin(a)^2)*b^2*cos(b*x + a)^2 + (cos(a)^2 + sin(a)^2)*
b^2*sin(b*x + a)^2 + (b^2*cos(2*b*x + 3*a)^2 + 2*b^2*cos(2*b*x + 3*a)*cos(a) + b^2*sin(2*b*x + 3*a)^2 + 2*b^2*
sin(2*b*x + 3*a)*sin(a) + (cos(a)^2 + sin(a)^2)*b^2)*cos(3*b*x + 3*a)^2 + (b^2*cos(b*x + a)^2 + b^2*sin(b*x +
a)^2)*cos(2*b*x + 3*a)^2 + (b^2*cos(2*b*x + 3*a)^2 + 2*b^2*cos(2*b*x + 3*a)*cos(a) + b^2*sin(2*b*x + 3*a)^2 +
2*b^2*sin(2*b*x + 3*a)*sin(a) + (cos(a)^2 + sin(a)^2)*b^2)*sin(3*b*x + 3*a)^2 + (b^2*cos(b*x + a)^2 + b^2*sin(
b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 3*a)^2 + 2*(b^2*cos(2*b*x + 3*a)^2*cos(b*x + a) + 2*b^2*cos(2*b*x + 3*a)*cos(b*x + a)*
cos(a) + b^2*cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 3*a)^2 + 2*b^2*cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 3*a)*sin(a) + (cos(a)^2 + sin(a)
^2)*b^2*cos(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) + 2*(b^2*cos(b*x + a)^2*cos(a) + b^2*cos(a)*sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x +
3*a) + 2*(b^2*cos(2*b*x + 3*a)^2*sin(b*x + a) + 2*b^2*cos(2*b*x + 3*a)*cos(a)*sin(b*x + a) + b^2*sin(2*b*x +
3*a)^2*sin(b*x + a) + 2*b^2*sin(2*b*x + 3*a)*sin(b*x + a)*sin(a) + (cos(a)^2 + sin(a)^2)*b^2*sin(b*x + a))*sin
(3*b*x + 3*a) + 2*(b^2*cos(b*x + a)^2*sin(a) + b^2*sin(b*x + a)^2*sin(a))*sin(2*b*x + 3*a))

Giac [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 365 vs. \(2 (57) = 114\).

Time = 0.37 (sec) , antiderivative size = 365, normalized size of antiderivative = 6.40 \[ \int (c+d x) \sec ^2(a+b x) \sin (3 a+3 b x) \, dx=\frac {10 \, b c \tan \left (\frac {1}{2} \, b x + \frac {1}{2} \, a\right )^{4} + 10 \, {\left (b x + a\right )} d \tan \left (\frac {1}{2} \, b x + \frac {1}{2} \, a\right )^{4} - 10 \, a d \tan \left (\frac {1}{2} \, b x + \frac {1}{2} \, a\right )^{4} + d \log \left (\frac {2 \, {\left (\tan \left (\frac {1}{2} \, b x + \frac {1}{2} \, a\right )^{2} + 2 \, \tan \left (\frac {1}{2} \, b x + \frac {1}{2} \, a\right ) + 1\right )}}{\tan \left (\frac {1}{2} \, b x + \frac {1}{2} \, a\right )^{2} + 1}\right ) \tan \left (\frac {1}{2} \, b x + \frac {1}{2} \, a\right )^{4} - d \log \left (\frac {2 \, {\left (\tan \left (\frac {1}{2} \, b x + \frac {1}{2} \, a\right )^{2} - 2 \, \tan \left (\frac {1}{2} \, b x + \frac {1}{2} \, a\right ) + 1\right )}}{\tan \left (\frac {1}{2} \, b x + \frac {1}{2} \, a\right )^{2} + 1}\right ) \tan \left (\frac {1}{2} \, b x + \frac {1}{2} \, a\right )^{4} - 12 \, b c \tan \left (\frac {1}{2} \, b x + \frac {1}{2} \, a\right )^{2} - 12 \, {\left (b x + a\right )} d \tan \left (\frac {1}{2} \, b x + \frac {1}{2} \, a\right )^{2} + 12 \, a d \tan \left (\frac {1}{2} \, b x + \frac {1}{2} \, a\right )^{2} + 16 \, d \tan \left (\frac {1}{2} \, b x + \frac {1}{2} \, a\right )^{3} + 10 \, b c + 10 \, {\left (b x + a\right )} d - 10 \, a d - d \log \left (\frac {2 \, {\left (\tan \left (\frac {1}{2} \, b x + \frac {1}{2} \, a\right )^{2} + 2 \, \tan \left (\frac {1}{2} \, b x + \frac {1}{2} \, a\right ) + 1\right )}}{\tan \left (\frac {1}{2} \, b x + \frac {1}{2} \, a\right )^{2} + 1}\right ) + d \log \left (\frac {2 \, {\left (\tan \left (\frac {1}{2} \, b x + \frac {1}{2} \, a\right )^{2} - 2 \, \tan \left (\frac {1}{2} \, b x + \frac {1}{2} \, a\right ) + 1\right )}}{\tan \left (\frac {1}{2} \, b x + \frac {1}{2} \, a\right )^{2} + 1}\right ) - 16 \, d \tan \left (\frac {1}{2} \, b x + \frac {1}{2} \, a\right )}{2 \, {\left (b \tan \left (\frac {1}{2} \, b x + \frac {1}{2} \, a\right )^{4} - b\right )} b} \]

[In]

integrate((d*x+c)*sec(b*x+a)^2*sin(3*b*x+3*a),x, algorithm="giac")

[Out]

1/2*(10*b*c*tan(1/2*b*x + 1/2*a)^4 + 10*(b*x + a)*d*tan(1/2*b*x + 1/2*a)^4 - 10*a*d*tan(1/2*b*x + 1/2*a)^4 + d
*log(2*(tan(1/2*b*x + 1/2*a)^2 + 2*tan(1/2*b*x + 1/2*a) + 1)/(tan(1/2*b*x + 1/2*a)^2 + 1))*tan(1/2*b*x + 1/2*a
)^4 - d*log(2*(tan(1/2*b*x + 1/2*a)^2 - 2*tan(1/2*b*x + 1/2*a) + 1)/(tan(1/2*b*x + 1/2*a)^2 + 1))*tan(1/2*b*x
+ 1/2*a)^4 - 12*b*c*tan(1/2*b*x + 1/2*a)^2 - 12*(b*x + a)*d*tan(1/2*b*x + 1/2*a)^2 + 12*a*d*tan(1/2*b*x + 1/2*
a)^2 + 16*d*tan(1/2*b*x + 1/2*a)^3 + 10*b*c + 10*(b*x + a)*d - 10*a*d - d*log(2*(tan(1/2*b*x + 1/2*a)^2 + 2*ta
n(1/2*b*x + 1/2*a) + 1)/(tan(1/2*b*x + 1/2*a)^2 + 1)) + d*log(2*(tan(1/2*b*x + 1/2*a)^2 - 2*tan(1/2*b*x + 1/2*
a) + 1)/(tan(1/2*b*x + 1/2*a)^2 + 1)) - 16*d*tan(1/2*b*x + 1/2*a))/((b*tan(1/2*b*x + 1/2*a)^4 - b)*b)

Mupad [B] (verification not implemented)

Time = 1.76 (sec) , antiderivative size = 150, normalized size of antiderivative = 2.63 \[ \int (c+d x) \sec ^2(a+b x) \sin (3 a+3 b x) \, dx={\mathrm {e}}^{-a\,1{}\mathrm {i}-b\,x\,1{}\mathrm {i}}\,\left (\frac {-2\,b\,c+d\,2{}\mathrm {i}}{b^2}-\frac {2\,d\,x}{b}\right )-{\mathrm {e}}^{a\,1{}\mathrm {i}+b\,x\,1{}\mathrm {i}}\,\left (\frac {2\,b\,c+d\,2{}\mathrm {i}}{b^2}+\frac {2\,d\,x}{b}\right )-\frac {d\,\ln \left ({\mathrm {e}}^{a\,1{}\mathrm {i}+b\,x\,1{}\mathrm {i}}-\mathrm {i}\right )}{b^2}+\frac {d\,\ln \left ({\mathrm {e}}^{a\,1{}\mathrm {i}+b\,x\,1{}\mathrm {i}}+1{}\mathrm {i}\right )}{b^2}-\frac {{\mathrm {e}}^{a\,1{}\mathrm {i}+b\,x\,1{}\mathrm {i}}\,\left (c+d\,x\right )\,2{}\mathrm {i}}{b\,\left ({\mathrm {e}}^{a\,2{}\mathrm {i}+b\,x\,2{}\mathrm {i}}\,1{}\mathrm {i}+1{}\mathrm {i}\right )} \]

[In]

int((sin(3*a + 3*b*x)*(c + d*x))/cos(a + b*x)^2,x)

[Out]

exp(- a*1i - b*x*1i)*((d*2i - 2*b*c)/b^2 - (2*d*x)/b) - exp(a*1i + b*x*1i)*((d*2i + 2*b*c)/b^2 + (2*d*x)/b) -
(d*log(exp(a*1i + b*x*1i) - 1i))/b^2 + (d*log(exp(a*1i + b*x*1i) + 1i))/b^2 - (exp(a*1i + b*x*1i)*(c + d*x)*2i
)/(b*(exp(a*2i + b*x*2i)*1i + 1i))